Gleichungssystem-Rechner
Löse lineare Gleichungssysteme 2x2, 3x3 und 4x4 mit dem Additionsverfahren: jede Zeilenoperation sichtbar, exakte Brüche, Probe und ein Diagramm der Geraden.
Zwei Unbekannte brauchen zwei Gleichungen, drei Unbekannte drei. Brüche wie 1/2 und Klammern sind erlaubt.
Hier erscheint deine Lösung
Gib links deine Gleichungen ein oder tippe ein Beispiel an, um den ganzen Rechenweg zu sehen.
Zwei, drei oder vier Unbekannte — mit sichtbarem Rechenweg
Die meisten Löser geben nur ein Zahlenpaar zurück und lassen dich raten, wie sie darauf kommen. Dieser druckt die erweiterte Matrix nach jeder Zeilenoperation, sodass du sie neben dein Heft legen und genau die Zeile finden kannst, in der die Rechnung gekippt ist. Er sagt außerdem klar, wenn ein System keine oder unendlich viele Lösungen hat, statt einen Fehler auszugeben.
Was dieser Löser liefert
Jede Zeilenoperation der Reihe nach
Tauschen, teilen, abziehen: Jeder Schritt erscheint mit der Matrix, wie sie in diesem Moment aussah. Genau das versteckt ein Grafikrechner.
Exakte Brüche statt gerundeter Werte
Koeffizienten werden als Bruchzahlen gespeichert, ein Ergebnis von 5/7 bleibt also 5/7. Darunter steht der gerundete Dezimalwert, falls du ihn für eine Abgabe brauchst.
Die kniffligen Fälle klar benannt
Parallele Geraden, wiederholte Gleichungen, mehr Gleichungen als Unbekannte. Jeder Fall bekommt eine verständliche Erklärung statt eines leeren Ergebnisses.
Eine Probe, auf die du dich verlassen kannst
Die Lösung wird in deine ursprünglichen Gleichungen eingesetzt und beide Seiten werden ausgegeben. Das Ergebnis ist damit geprüft und nicht nur behauptet.
Welches Verfahren zu welchem System passt
Im Unterricht kommen meist drei Wege vor, ein lineares System zu lösen. Alle führen zum gleichen Ergebnis, sie unterscheiden sich nur im Aufwand.
- EinsetzungsverfahrenAm schnellsten, wenn eine Gleichung schon nach einer Unbekannten aufgelöst ist, etwa y = 2x + 1.
- AdditionsverfahrenAb drei oder vier Unbekannten die beste Wahl. Genau das rechnet der Rechner.
- Cramersche RegelPraktisch bei einem quadratischen System, wenn du nur eine Unbekannte brauchst und die Determinante nicht null ist.
- ZeichnerischBei zwei Unbekannten gut zum Verstehen, aber schwer exakt abzulesen.
So funktioniert Gleichungssystem-Rechner
Füge deine Gleichungen ein und der Rechner liest jede Zeile so, wie du sie geschrieben hast: linke Seite, Gleichheitszeichen, rechte Seite. Er löst Klammern auf, beseitigt Brüche und bringt alle Unbekannten nach links, sodass jede Zeile in der Standardform ax + by = c steht. Die Koeffizienten bleiben exakte Brüche, deshalb bleibt ein Drittel 1/3 und wird nicht zu 0,3333.
Danach wandern die Zeilen in eine erweiterte Matrix und der Löser rechnet mit dem Gauß-Jordan-Verfahren. Er wählt in der ersten Spalte ein Pivotelement, am liebsten eines mit dem Wert 1 oder −1, damit der ausgegebene Rechenweg lesbar bleibt, teilt diese Zeile auf eine einzelne Unbekannte herunter und zieht Vielfache davon von allen anderen Zeilen ab. Das wiederholt er Spalte für Spalte, bis jede Unbekannte allein in ihrer eigenen Zeile steht.
Das Ergebnis zeigt, welcher von drei Fällen eingetreten ist. Bekommt jede Unbekannte ihr eigenes Pivotelement, gibt es genau eine Lösung, und der Rechner setzt sie zur Probe in deine ursprünglichen Gleichungen ein. Fällt eine Zeile auf 0 = 5 zusammen, widersprechen sich die Gleichungen und nichts kann sie erfüllen. Fällt eine Zeile auf 0 = 0 zusammen, hat eine Gleichung eine andere wiederholt, und der Rechner benennt die freien Unbekannten und schreibt die übrigen in Abhängigkeit davon.
Quadratische Systeme erhalten zusätzlich ihre Determinante und die Zähler der Cramerschen Regel. Bei zwei Unbekannten kommt ein Diagramm mit beiden Geraden dazu. Alles läuft in deinem Browser.
So verwenden Sie Gleichungssystem-Rechner
Gleichungen eingeben
Schreibe pro Zeile eine Gleichung, zum Beispiel 2x + 3y = 12. Oder wechsle zur Tabelle und trage die Koeffizienten in die Felder ein.
Auf Lösen tippen
Der Rechner ordnet die Gleichungen, entfernt eine Unbekannte nach der anderen und zeigt, ob es eine Lösung, keine oder unendlich viele gibt.
Rechenweg prüfen
Vergleiche jede Zeile mit deinem Heft, sieh dir die Probe an und öffne bei zwei Unbekannten das Diagramm.
Anwendungsbeispiel
Lösung von drei Gleichungen mit drei Unbekannten:
Häufig gestellte Fragen
Wie viele Gleichungen brauche ich für drei Unbekannte?
Arbeitet dieser Rechner mit Einsetzen oder mit Addition?
Löst er auch 3-x-3- und 4-x-4-Systeme?
Warum meldet er, dass es keine Lösung gibt?
Was bedeutet "unendlich viele Lösungen" konkret?
Wie gebe ich Brüche, Dezimalzahlen und Klammern ein?
Kann ich andere Buchstaben als x, y und z verwenden?
Löst er nichtlineare Systeme wie x² + y² = 25?
Warum steht das Ergebnis als Bruch und nicht als Dezimalzahl?
Wofür ist die Determinante hier gut?
Kann ich damit meine Hausaufgaben prüfen?
Werden meine Eingaben irgendwohin hochgeladen?
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