Mitternachtsformel Rechner
Löse jede Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 und sieh Diskriminante, beide Lösungen, Scheitelpunkt und den kompletten Rechenweg.
Koeffizienten eingeben
Trage die Zahlen aus ax² + bx + c = 0 ein. Brüche wie 3/4 funktionieren ebenfalls.
x² − 5x + 6 = 0Lösungen
(x − 3)(x − 2) = 0Schritt-für-Schritt-Rechenweg
- 1Gleichung in Normalform schreiben
x² − 5x + 6 = 0 - 2Diskriminante berechnen
D = (−5)² − 4(1)(6) - 3Diskriminante berechnen
D = 1 - 4Werte in die Mitternachtsformel einsetzen
x = (5 ± √1) / 2 - 5Wurzel vereinfachen
x = (5 ± 1) / 2 - 6Scheitelpunkt über x = −b / 2a bestimmen
(2.5, −0.25)
Graph der Parabel
Die grünen Punkte zeigen, wo die Kurve die x-Achse schneidet. Der bernsteinfarbene Punkt markiert den Scheitelpunkt.
Kostenloser Mitternachtsformel-Rechner
Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0. Dieser Rechner löst sie mit x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a und zeigt den Rechenweg Zeile für Zeile. Du erhältst beide Lösungen, die Diskriminante, den Scheitelpunkt, die faktorisierte Form falls möglich und den Graphen der Parabel. Reelle, doppelte und komplexe Lösungen sind abgedeckt.
Was ist die Mitternachtsformel?
Die Mitternachtsformel ist der Standardweg, jede Gleichung zweiten Grades der Form ax² + bx + c = 0 zu lösen, sofern a nicht null ist. Der Wert unter der Wurzel, b² − 4ac, ist die Diskriminante. Sie zeigt, wie viele reelle Lösungen es gibt, bevor du den Rest der Rechnung fertig hast.
- Diskriminante > 0: zwei verschiedene reelle Lösungen
- Diskriminante = 0: eine doppelte reelle Lösung (die Parabel berührt die x-Achse nur)
- Diskriminante < 0: zwei komplexe Lösungen der Form p ± qi
Faktorisieren geht schneller, wenn die Zahlen angenehm sind. Quadratische Ergänzung funktioniert ebenfalls. Wenn die Zahlen unhandlich sind oder du eine Methode willst, die immer greift, nimm die Mitternachtsformel. Diese Seite erledigt die Rechnung und hält jede Zwischenzeile sichtbar.
So löst du eine quadratische Gleichung
- Bring alle Terme auf eine Seite, bis ax² + bx + c = 0 steht. Fehlende Glieder zählen als null. Bei x² − 9 = 0 ist b gleich 0.
- Bestimme a, b und c samt Vorzeichen. Bei 2x² − 3x − 5 = 0 ist a = 2, b = −3 und c = −5.
- Berechne die Diskriminante D = b² − 4ac. Setze dann in die Formel ein und vereinfache den + und den − Fall.
- Prüfe mit Vieta: Die Lösungen sollten zu −b/a addieren und zu c/a multiplizieren. Tun sie das nicht, rechne die Arithmetik nach.
Beispiel: x² − 5x + 6 = 0 hat a = 1, b = −5, c = 6. D = 25 − 24 = 1, also sind die Lösungen (5 ± 1) / 2, das heißt x = 3 und x = 2. Die faktorisierte Form ist (x − 3)(x − 2) = 0, und der Scheitelpunkt liegt bei (2.5, −0.25).
Warum diesen quadratischen Gleichungslöser nutzen?
Schritt-für-Schritt-Rechenweg
Normalform, Diskriminante, Einsetzen, Vereinfachen und Lösungen — jede Zeile ist da, damit du deinen eigenen Weg prüfen kannst.
Graph passend zur Algebra
Die Parabel entsteht aus deinen Koeffizienten, mit Lösungen und Scheitelpunkt genau dort, wo sie liegen.
Komplexe Lösungen inklusive
Eine negative Diskriminante stoppt ihn nicht. Du erhältst beide komplexen Lösungen in der Form p ± qi statt einer Fehlermeldung.
Kostenlos, schnell und privat
Keine Anmeldung, kein Serveraufruf. Der Solver läuft im Browser und aktualisiert sich, sobald du einen Koeffizienten änderst.
So funktioniert Mitternachtsformel Rechner
Dieses Werkzeug Mitternachtsformel Rechner funktioniert vollstaendig in Ihrem Browser, damit Sie sofort Ergebnisse ohne komplizierte Einrichtung erhalten. Löse jede Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 und sieh Diskriminante, beide Lösungen, Scheitelpunkt und den kompletten Rechenweg. Die gesamte Verarbeitung erfolgt clientseitig auf Ihrem Geraet. Das verbessert den Datenschutz, vermeidet unnoetige Uploads und macht die Nutzung besonders schnell. Sie koennen das Werkzeug kostenlos verwenden, Vorgaenge beliebig oft wiederholen und Ergebnisse direkt uebernehmen.
So verwenden Sie Mitternachtsformel Rechner
Gleichung in Normalform bringen
Bringe alle Terme auf eine Seite, bis dort ax² + bx + c = 0 steht. Die drei Zahlen vor x², vor x und der konstante Term sind deine Eingaben.
a, b und c eingeben
Trage jeden Koeffizienten ein, samt Minuszeichen, falls vorhanden. Brüche wie 3/4 sind erlaubt, und die Vorschau zeigt dir die fertige Gleichung.
Lösungen und Rechenweg ablesen
Du erhältst die Diskriminante, beide Lösungen, den Scheitelpunkt, die faktorisierte Form, den Graphen der Parabel und jede Zeile der Rechnung.
Anwendungsbeispiel
x² − 5x + 6 = 0 mit der Mitternachtsformel lösen:
Häufig gestellte Fragen
Wie lautet die Mitternachtsformel?
Was sagt mir die Diskriminante?
Warum hat meine Gleichung keine reellen Lösungen?
Kann ich sie nutzen, wenn a gleich 0 ist?
Wie finde ich a, b und c in einer unsortierten Gleichung?
Was ist der Scheitelpunkt und warum wird er angezeigt?
Sollte ich lieber faktorisieren als die Formel nutzen?
Zeigt der Rechner die Schritte für Hausaufgaben?
Kann ich Brüche oder Dezimalzahlen als Koeffizienten eingeben?
Was bedeuten Summe und Produkt der Lösungen?
Warum ist der Graph wichtig?
Werden meine Eingaben irgendwohin gesendet?
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