Mitternachtsformel Rechner

Löse jede Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 und sieh Diskriminante, beide Lösungen, Scheitelpunkt und den kompletten Rechenweg.

Koeffizienten eingeben

Trage die Zahlen aus ax² + bx + c = 0 ein. Brüche wie 3/4 funktionieren ebenfalls.

Beispiel ausprobieren
Deine Gleichung
x² − 5x + 6 = 0

Lösungen

Zwei verschiedene reelle Lösungen
x₁
3
x₂
2
Diskriminante (b² − 4ac)1
Scheitelpunkt(2.5, −0.25)
Symmetrieachsex = 2.5
y-Achsenabschnitt(0, 6)
Summe der Lösungen5
Produkt der Lösungen6
Parabel geöffnetNach oben
Faktorisierte Form
(x − 3)(x − 2) = 0

Schritt-für-Schritt-Rechenweg

  1. 1
    Gleichung in Normalform schreiben
    x² − 5x + 6 = 0
  2. 2
    Diskriminante berechnen
    D = (−5)² − 4(1)(6)
  3. 3
    Diskriminante berechnen
    D = 1
  4. 4
    Werte in die Mitternachtsformel einsetzen
    x = (5 ± √1) / 2
  5. 5
    Wurzel vereinfachen
    x = (5 ± 1) / 2
  6. 6
    Scheitelpunkt über x = −b / 2a bestimmen
    (2.5, −0.25)

Graph der Parabel

Die grünen Punkte zeigen, wo die Kurve die x-Achse schneidet. Der bernsteinfarbene Punkt markiert den Scheitelpunkt.

Kostenloser Mitternachtsformel-Rechner

Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0. Dieser Rechner löst sie mit x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a und zeigt den Rechenweg Zeile für Zeile. Du erhältst beide Lösungen, die Diskriminante, den Scheitelpunkt, die faktorisierte Form falls möglich und den Graphen der Parabel. Reelle, doppelte und komplexe Lösungen sind abgedeckt.

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a

Was ist die Mitternachtsformel?

Die Mitternachtsformel ist der Standardweg, jede Gleichung zweiten Grades der Form ax² + bx + c = 0 zu lösen, sofern a nicht null ist. Der Wert unter der Wurzel, b² − 4ac, ist die Diskriminante. Sie zeigt, wie viele reelle Lösungen es gibt, bevor du den Rest der Rechnung fertig hast.

  • Diskriminante > 0: zwei verschiedene reelle Lösungen
  • Diskriminante = 0: eine doppelte reelle Lösung (die Parabel berührt die x-Achse nur)
  • Diskriminante < 0: zwei komplexe Lösungen der Form p ± qi

Faktorisieren geht schneller, wenn die Zahlen angenehm sind. Quadratische Ergänzung funktioniert ebenfalls. Wenn die Zahlen unhandlich sind oder du eine Methode willst, die immer greift, nimm die Mitternachtsformel. Diese Seite erledigt die Rechnung und hält jede Zwischenzeile sichtbar.

So löst du eine quadratische Gleichung

  1. Bring alle Terme auf eine Seite, bis ax² + bx + c = 0 steht. Fehlende Glieder zählen als null. Bei x² − 9 = 0 ist b gleich 0.
  2. Bestimme a, b und c samt Vorzeichen. Bei 2x² − 3x − 5 = 0 ist a = 2, b = −3 und c = −5.
  3. Berechne die Diskriminante D = b² − 4ac. Setze dann in die Formel ein und vereinfache den + und den − Fall.
  4. Prüfe mit Vieta: Die Lösungen sollten zu −b/a addieren und zu c/a multiplizieren. Tun sie das nicht, rechne die Arithmetik nach.

Beispiel: x² − 5x + 6 = 0 hat a = 1, b = −5, c = 6. D = 25 − 24 = 1, also sind die Lösungen (5 ± 1) / 2, das heißt x = 3 und x = 2. Die faktorisierte Form ist (x − 3)(x − 2) = 0, und der Scheitelpunkt liegt bei (2.5, −0.25).

Warum diesen quadratischen Gleichungslöser nutzen?

Schritt-für-Schritt-Rechenweg

Normalform, Diskriminante, Einsetzen, Vereinfachen und Lösungen — jede Zeile ist da, damit du deinen eigenen Weg prüfen kannst.

Graph passend zur Algebra

Die Parabel entsteht aus deinen Koeffizienten, mit Lösungen und Scheitelpunkt genau dort, wo sie liegen.

Komplexe Lösungen inklusive

Eine negative Diskriminante stoppt ihn nicht. Du erhältst beide komplexen Lösungen in der Form p ± qi statt einer Fehlermeldung.

Kostenlos, schnell und privat

Keine Anmeldung, kein Serveraufruf. Der Solver läuft im Browser und aktualisiert sich, sobald du einen Koeffizienten änderst.

So funktioniert Mitternachtsformel Rechner

Mit dem Mitternachtsformel-Rechner berechnen oder vergleichen Sie Werte anhand Ihrer Eingaben.

Dieser quadratische Formelrechner wendet x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a auf die von Ihnen eingegebenen Koeffizienten an und zeigt die Arithmetik, nicht nur die Antwort. Geben Sie a, b und c als Dezimalzahlen oder als Brüche wie 3/4 ein. Die Gleichungsvorschau wird während der Eingabe neu erstellt, sodass Sie die Vorzeichen überprüfen können, bevor Sie dem Ergebnis vertrauen.

Zuerst wird die Diskriminante ermittelt, da dieser einzelne Wert über den Rest entscheidet. Eine positive Diskriminante ergibt zwei unterschiedliche reelle Wurzeln, eine Null ergibt eine wiederholte Wurzel und eine negative Diskriminante ergibt ein konjugiertes Paar komplexer Wurzeln in p ± qi-Form anstelle eines Fehlers. Winzige Gleitkomma-Reste werden vor der Prüfung gelöscht, sodass eine echte Doppelwurzel nicht fälschlicherweise als komplex gemeldet wird.

Um die Wurzeln herum erhält man durch Vietas Formeln auch den Scheitelpunkt bei x = −b / 2a, die Symmetrieachse, den y-Achsenabschnitt sowie die Summe und das Produkt der Wurzeln. Dies ist der schnellste Weg, die eigene Arbeitsweise zu überprüfen. Wenn beide Wurzeln rational sind, erscheint auch die faktorisierte Form. Wenn a Null ist, ist die Gleichung nicht mehr quadratisch; Dieses Werkzeug sagt dies und löst den linearen Fall, anstatt durch Null zu dividieren. Die Parabel wird aus Ihren Koeffizienten mit markierten Wurzeln und Scheitelpunkten gezeichnet, sodass eine negative Diskriminante als Kurve angezeigt wird, die niemals die x-Achse trifft. Alles läuft in Ihrem Browser.

Dieses Tool eignet sich für folgende Aufgabe: Lösen Sie eine beliebige ax² + bx + c = 0-Gleichung und sehen Sie sich die Diskriminante, beide Wurzeln, den Scheitelpunkt und jeden Arbeitsschritt an.

Kontrollieren Sie vor dem Übernehmen des Ergebnisses die eingegebenen Werte und Einheiten.

So verwenden Sie Mitternachtsformel Rechner

1

Gleichung in Normalform bringen

Bringe alle Terme auf eine Seite, bis dort ax² + bx + c = 0 steht. Die drei Zahlen vor x², vor x und der konstante Term sind deine Eingaben.

2

a, b und c eingeben

Trage jeden Koeffizienten ein, samt Minuszeichen, falls vorhanden. Brüche wie 3/4 sind erlaubt, und die Vorschau zeigt dir die fertige Gleichung.

3

Lösungen und Rechenweg ablesen

Du erhältst die Diskriminante, beide Lösungen, den Scheitelpunkt, die faktorisierte Form, den Graphen der Parabel und jede Zeile der Rechnung.

Anwendungsbeispiel

x² − 5x + 6 = 0 mit der Mitternachtsformel lösen:

Eingabe
a = 1, b = −5, c = 6
Ausgabe
Diskriminante: 1 x₁ = 3, x₂ = 2 Scheitelpunkt: (2.5, −0.25) Faktorisiert: (x − 3)(x − 2) = 0

Häufig gestellte Fragen

Wie lautet die Mitternachtsformel?
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Sie löst jede Gleichung der Form ax² + bx + c = 0, sofern a nicht null ist. Das Plus-Minus-Zeichen erzeugt die beiden Lösungen, und dieser Rechner zeigt das Einsetzen Zeile für Zeile.
Was sagt mir die Diskriminante?
Die Diskriminante ist b² − 4ac, der Ausdruck unter der Wurzel. Ist sie positiv, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen. Ist sie genau null, gibt es eine doppelte Lösung und die Parabel berührt die x-Achse nur. Ist sie negativ, sind die Lösungen komplex und die Kurve schneidet die x-Achse gar nicht.
Warum hat meine Gleichung keine reellen Lösungen?
Weil die Diskriminante negativ ausgefallen ist und man aus einer negativen Zahl im Reellen keine Wurzel ziehen kann. Die Gleichung hat trotzdem zwei Lösungen, sie sind nur komplex und haben die Form p ± qi. Der Graph auf dieser Seite zeigt den Grund: Die Parabel liegt vollständig über oder unter der x-Achse.
Kann ich sie nutzen, wenn a gleich 0 ist?
Eingeben schon, aber dann ist die Gleichung nicht mehr quadratisch. Ohne x²-Glied bleibt bx + c = 0, eine Gerade mit genau einer Lösung. Das Tool erkennt das, weist dich darauf hin und löst die lineare Gleichung, statt durch null zu teilen.
Wie finde ich a, b und c in einer unsortierten Gleichung?
Bring zuerst alles auf eine Seite. Aus 3x² = 7x − 2 wird durch Subtrahieren von 7x und Addieren von 2 die Form 3x² − 7x + 2 = 0. Damit ist a gleich 3, b gleich −7 und c gleich 2. Fehlende Glieder zählen als null, x² − 9 = 0 hat also b = 0.
Was ist der Scheitelpunkt und warum wird er angezeigt?
Der Scheitelpunkt ist der Wendepunkt der Parabel und liegt bei x = −b / 2a. Er liefert den kleinsten Wert des Ausdrucks, wenn a positiv ist, und den größten, wenn a negativ ist. Das ist bei Textaufgaben zu maximaler Höhe, minimalen Kosten oder größter Fläche entscheidend.
Sollte ich lieber faktorisieren als die Formel nutzen?
Faktorisieren geht schneller, wenn die Zahlen angenehm sind, und diese Seite zeigt die faktorisierte Form immer dann, wenn die Lösungen rational ausfallen. Sind sie es nicht, funktioniert Faktorisieren durch Hinsehen nicht und die Formel ist der sichere Weg. Quadratische Ergänzung ist eine dritte Möglichkeit mit denselben Ergebnissen.
Zeigt der Rechner die Schritte für Hausaufgaben?
Ja. Das Schritt-für-Schritt-Feld schreibt die Normalform, das Einsetzen in die Diskriminante, die Formel mit deinen Werten, die vereinfachte Fassung und die endgültigen Lösungen aus. Übernimm sie in deinen Rechenweg, aber sorge dafür, dass du die Methode vor einer Klausur selbst beherrschst.
Kann ich Brüche oder Dezimalzahlen als Koeffizienten eingeben?
Beides funktioniert. Ob du 0.5 oder 1/2 tippst, macht für den Rechner keinen Unterschied. Dezimalzahlen werden mit voller Fließkommagenauigkeit verarbeitet, gerundet wird nur für die Anzeige.
Was bedeuten Summe und Produkt der Lösungen?
Bei jeder quadratischen Gleichung ergeben die beiden Lösungen zusammen −b/a und multipliziert c/a. Das sind die Sätze von Vieta. Sie eignen sich als schnelle Kontrolle: Passen Summe und Produkt deiner Lösungen nicht zu diesen Werten, steckt ein Fehler im Rechenweg.
Warum ist der Graph wichtig?
Weil er die Algebra anschaulich macht. Die Lösungen liegen genau dort, wo die Kurve die x-Achse schneidet, der Scheitelpunkt ist der Wendepunkt, und das Vorzeichen von a entscheidet, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist. Wer alle drei zusammen sieht, merkt sich die Diskriminanten-Regel meist besser.
Werden meine Eingaben irgendwohin gesendet?
Nein. Der Solver läuft komplett in deinem Browser. Es wird nichts hochgeladen, es gibt kein Konto und keinen Verlauf. Nach einem Neuladen sind deine Koeffizienten weg.

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